多赢娱乐时时彩平台 当前位置:首页>多赢娱乐时时彩平台>正文

多赢娱乐时时彩平台

发布时间:2019-03-22

原标题:机器学习之一:线性回归、梯度下降算法

机器学习之一:线性回归、梯度下降算法


一、预测

先来看看这样一个场景:

假如你手头有一套房子要出售,你咨询了房产中介。中介跟你要了一系列的数据,例如房子面积、位置、楼层、年限等,然后进行一系列计算后,给出了建议的定价。

房产中介是如何帮你定价的?

“中介”通过他多年的“从业”经验,知道哪些因素会影响房子的价格,且知道各自的“影响”有多大,于是在接过“你的房子”时,他就能通过自已的经验计算出“价格”了。

当然,这个价格,不同的中介,得到的也不同。有经验的中介,可以很准确的预测到价格。而经验不足者,可以会有很大的偏差。

注意上面引号内的东西。将引号内的东西做如下抽象:

中介 ——> 模型
从业 ——> 学习
影响 ——> 权重
房子 ——> 样本
价格 ——> 输出

这便可以当作是一个线性回归模型。

二、线性回归

线性回归,用于解决数值预测问题。

1、模型假设

假设有一类数据样本((x,y))(x) 表示一个样本的特征集((x_0,x_1,x_2,...,x_n))(y) 表示该样本的值。

假设 (y)(x) 之间,存在某种线性关系,那么数学上,可以用如下方程表示:

$
h(x) = heta_0x_0 + heta_1x_1 + ...+ heta_nx_n
$

用矩阵表示为:

$
h_ heta(x) = heta^TX
$

显然,要确定 (x)(y) 之间的关系,只需要求解 ( heta) 的值便可以。

那么,( heta) 应该怎么求?

2、梯度下降算法

2.1 直观理解梯度下降

上述的问题,归结到求 ( heta)

求取 ( heta),可否这样处理:先随机定一组 ( heta) 值,然后将已知的样本代入模型公式中,得到输出的 (h)值,然后与样本 (y) 值相比较,若 (h)(y) 大,就减少 ( heta),若 (h)(y) 小,就增加 ( heta)

显然是OK的,但关键是 ( heta) 每次要变化多大的量合适?当然了,每次就修改一点点,例如0.00000000001,然后修改了100年,终于得到一个合适的参数,这样理论上也是可以的。

那有没有什么办法,可以让 ( heta) “快速的变化”到理想状态呢?

注意引号中的内容——快速的变化,想到什么没?是的,变化率!

数学上来讲,是求导!

用谁对谁求?当然是计算值与y之前误差了。

有了变化率,( heta) 要变大,还是变小?

梯度下降算法认为,往梯度反方向变化,即是做减法。

2.2 梯度下降法计算过程

误差函数

令误差函数如下式:

$
J = frac{1}{2m} sum_{i=1}^{m}(h_ heta(x^{(i)})-y^{(i)})^2
$

这个式子,解释一下。

误差用输出值与 (y) 值作差,这个没得说。平方是让差值恒为正。而前方的 1/2,是为了求导时将平方约去,简化运算。

求导

(J)( heta)偏导数为

$
grad = frac{1}{m} sum_{i=1}^{m}(h_ heta(x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)}
$

更新( heta)

由梯度下降法,迭代计算( heta)的值,其中(alpha)为学习率

$
heta_j := heta_j - alpha*grad
$

三、单一特征的线性回归

1、数据可视化

fprintf("Plotting Data ...
")
data = load("ex1data1.txt");
X = data(:, 1); 
y = data(:, 2);
m = length(y); % number of training examples

% Plot Data
% Note: You have to complete the code in plotData.m
plotData(X, y);

fprintf("Program paused. Press enter to continue.
");
pause;

2、误差函数及测试

2.1、误差函数

根据公式,编写J函数

function J = computeCost(X, y, theta)
m = length(y); % number of training examples

% J=1/(2*m)*sum((X*theta-y).^2); 

J=1/(2*m)*(X*theta-y)"*(X*theta-y);

end

2.2、测试误差函数

X = [ones(m, 1), data(:,1)]; % Add a column of ones to x (x_0 = 1)
theta = zeros(2, 1); % initialize fitting parameters

% Some gradient descent settings
iterations = 1500;
alpha = 0.01;

fprintf("
Testing the cost function ...
")
% compute and display initial cost
J = computeCost(X, y, theta);
fprintf("With theta = [0 ; 0]
Cost computed = %f
", J);
fprintf("Expected cost value (approx) 32.07
");

% further testing of the cost function
J = computeCost(X, y, [-1 ; 2]);
fprintf("
With theta = [-1 ; 2]
Cost computed = %f
", J);
fprintf("Expected cost value (approx) 54.24
");

fprintf("Program paused. Press enter to continue.
");
pause;

3、梯度下降

3.1、梯度下降算法

根据梯度下降公式,实现算法

function [theta, J_history] = gradientDescent(X, y, theta, alpha, num_iters)
m = length(y); % number of training examples
J_history = zeros(num_iters, 1);  % one column

for iter = 1:num_iters
    grad = 1/m * X"*(X*theta-y);
    theta = theta - alpha * grad; 
    J_history(iter) = computeCost(X, y, theta);
end
endfprintf("
Running Gradient Descent ...
")
% run gradient descent
theta = gradientDescent(X, y, theta, alpha, iterations);

% print theta to screen
fprintf("Theta found by gradient descent:
");
fprintf("%f
", theta);
fprintf("Expected theta values (approx)
");
fprintf(" -3.6303
  1.1664

");

3.2、运行梯度下降

传入训练集,计算出theta矩阵

fprintf("
Running Gradient Descent ...
")
% run gradient descent
theta = gradientDescent(X, y, theta, alpha, iterations);

% print theta to screen
fprintf("Theta found by gradient descent:
");
fprintf("%f
", theta);
fprintf("Expected theta values (approx)
");
fprintf(" -3.6303
  1.1664

");

4、预测

根据计算出来的theta矩阵,预测新的样本对应的值。

% Predict values for population sizes of 35,000 and 70,000

predict1 = [1, 3.5] *theta;
fprintf("For population = 35,000, we predict a profit of %f
",...
    predict1*10000);
    
predict2 = [1, 7] * theta;
fprintf("For population = 70,000, we predict a profit of %f
",...
    predict2*10000);

四、多特征的线性回归

多特征的线性回归,算法与单一特征基本一样,唯一不同的仅仅是X的特征数量、theta的参数数量。

另外,多特征的样本,各个特征的数据范围可能存在数量级的差别,最后得出的误差函数的等高线可能是一个不规则的图形。而梯度下降,是沿着误差函数的等高线的法向方向进行,对于一个不规则的图形,其法向方向是多变的,这样一来,梯度下降可能每次迭代的方向都会有差别,进而形成震荡,迭代速度也会变慢。

为使算法更快的找到最优解,使用“均值归一化”的进行标准化处理,将样本各个特征的数据,约束在相同的范围内。这样处理后,如果是二维特征,其误差函数的等高线就是一个近圆,梯度下降就直指圆心进行,能更快找到最优解。

1、标准化特征

1.1、 加载数据,并标准化处理

%% Load Data
data = load("ex1data2.txt");
X = data(:, 1:2);
y = data(:, 3);
m = length(y);

% Print out some data points
fprintf("First 10 examples from the dataset: 
");
fprintf(" x = [%.0f %.0f], y = %.0f 
", [X(1:10,:) y(1:10,:)]");

fprintf("Program paused. Press enter to continue.
");
pause;

% Scale features and set them to zero mean
fprintf("Normalizing Features ...
");

% 将特征的值,都约束在[-1,1]区间内

[X mu sigma] = featureNormalize(X);

% Add intercept term to X??X_0 = 1
X = [ones(m, 1) X];

1.2、标准化函数(使用均值归一化算法)

计算方法:X_out = (X_in - mu)/sigma,其中,mu为样本均值,sigma为样本标准差

function [X_norm, mu, sigma] = featureNormalize(X)
X_norm = X;
mu = zeros(1, size(X, 2));   % get the count of column
sigma = zeros(1, size(X, 2));
[X_norm,mu,sigma] = zscore(X);
end

2、多维特征样本的误差函数、梯度下降算法

与一维样本的公式完全一样。不再详述。

五、正规方程解法

求解theta,除了使用梯度下降法外,还可以直接使用公式,进行计算。

上面讲到,如果是多维数据,在进行梯度下降时,为使计算速度加快,需要将多维特征数据进行标准化处理。而若是使用正规方程解法,则不需要,在原有的样本进行计算即可。

正规方程解法,因为需要求解逆矩阵,在样本数量很大的情况下,其运算速度会非常慢,所以,梯度下降法与正规方程解法,根据数据量的大小,进行选择。

经验数值是,当数据量大于1,000,000时,一般采用梯度下降法。

1、方程解法

function [theta] = normalEqn(X, y)

theta = zeros(size(X, 2), 1);

theta = pinv(X"*X)*X"*y;

end

2、预测

可以看到,正规方程解法,与梯度下降法,得出来的结果很接近。

data = csvread("ex1data2.txt");
X = data(:, 1:2);
y = data(:, 3);
m = length(y);

% Add intercept term to X
X = [ones(m, 1) X];

% Calculate the parameters from the normal equation
theta = normalEqn(X, y);

% Display normal equation"s result
fprintf("Theta computed from the normal equations: 
");
fprintf(" %f 
", theta);
fprintf("
");


% Estimate the price of a 1650 sq-ft, 3 br house
% ====================== YOUR CODE HERE ======================
% price = 0; % You should change this

price = 1650; % You should change this
price = [1,1650,3]*theta;

当前文章://4x1tf.html

发布时间:2019-03-22 10:51:10

龙虎娱乐&首页 梦之城娱乐-梦之城娱乐平台-梦之城娱乐注册-梦之城娱乐登录【官方网站】 优发国际亚洲线上 欧罗巴eur 奇幻电玩城猜红包 

责任编辑:侯乙侯建